18170. Дан квадрат ABCD
с центром O
. Прямая, проходящая через точку O
параллельно AD
, пересекает стороны AB
и CD
в точках M
и N
соответственно, а некоторая прямая, параллельная AB
, пересекает диагональ AC
в точке P
. Докажите, что
OP^{4}+\left(\frac{1}{2}MN\right)^{4}=MP^{2}\cdot NP^{2}.
Решение. Пусть прямая, параллельная AB
, пересекает отрезок MN
в точке Q
, лежащей между O
и M
(см. рис), а MN=AB=2a
и OQ=PQ=x
. Тогда
OP=\sqrt{2},~OP^{2}=2x^{2},~MP^{2}=x^{2}+(a-x)^{2},~NP^{2}=x^{2}+(a+x)^{2},~MN=a.
Значит, доказываемое равенство равносильно равенству
4x^{4}+a^{4}=(x^{2}+(a-x)^{2})(x^{2}+(a+x)^{2}),~\mbox{или}~4x^{4}+a^{4}=(2x^{2}+a^{2}-2ax)(2x^{2}+a^{2}+2ax)~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~4x^{4}+a^{4}=(2x^{2}+a^{2})^{2}-4a^{2}x^{2}~\Leftrightarrow~4x^{4}+a^{4}=4x^{4}+a^{4}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Аналогично для случая, когда точка Q
лежит между O
и N
. Если же Q
совпадает с O
, утверждение очевидно (a^{2}=a^{2}
).
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2011, задача 1, с. 75