18172. Окружность с центром I
, вписанная в треугольник ABC
(AB\ne AC
), касается стороны BC
в точке D
. Луч AI
пересекает описанную окружность \Gamma
треугольника ABC
в точке M
, луч MD
пересекает эту окружность в точке P
. Докажите, что \angle API=90^{\circ}
.
Решение. Пусть AB\lt AC
. По теореме о трилистнике (см. задачу 788) MB=MC=MI
. Поскольку M
— не содержащая точки A
середина дуги BC
окружности \Gamma
, то
\angle BPM=\angle BAM=\frac{1}{2}\angle MBC,
поэтому треугольники DMB
и BPM
с общим углом при вершине M
подобны по двум углам. Значит,
\frac{MB}{MP}=\frac{MD}{MB}~\Rightarrow~MI^{2}=MB^{2}=MD\cdot MP~\Rightarrow~\frac{MI}{MP}=\frac{MD}{MI}.
Тогда треугольники MDI
и MIP
тоже подобны, поэтому \angle MPI=\angle MID
.
Заметим, что \angle MID=\angle AMO
, так как ID\parallel OM
как перпендикуляры к BC
.
Пусть MN
— диаметр окружности \Gamma
. Тогда
\angle API=\angle APM-\angle MPI=\angle APM-\angle MID=\angle APM-\angle AMN=
=\frac{1}{2}\smile PAC-\frac{1}{2}\smile AN=\frac{1}{2}(\smile PAC-\smile AN)=\frac{1}{2}\smile MCN=\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2011, задача 2, с. 91