18176. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом при вершине C
проведены высота CH
и биссектриса AL
, пересекающиеся в точке K
. В прямоугольном треугольнике BCH
проведена биссектриса CM
. Докажите, что CK=ML
.
Указание. Докажите, что прямые AL
и CM
— серединные перпендикуляры к отрезкам CM
и KL
соответственно.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Пусть N
— точка пересечения AL
и CM
. Поскольку \angle BCH=\angle BAC=\alpha
и
\angle NCH=\angle MCH=\frac{\alpha}{2}=\angle NAH,
то точки A
, C
, N
И H
лежат на одной окружности, поэтому
\angle ANC=\angle AHC=90^{\circ}.
В треугольнике ACM
биссектриса AN
является высотой, поэтому AC=AM
. Значит прямая AN
(т. е. прямая AL
) — серединный перпендикуляр к отрезку CM
. Аналогично прямая CM
— серединный перпендикуляр к отрезку KL
. Следовательно, CK=CL=LM
. Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада Метрополий. — 2019, день 1, задача 1