18177. Точки P
и Q
лежат на стороне BC
треугольника ABC
, причём лучи AP
и AQ
разбивают угол BAC
на три равных угла, а треугольник APQ
остроугольный. Точки B_{1}
, P_{1}
, Q_{1}
и C_{1}
— проекции точек P
, Q
, Q
и C
на прямые AP
, AQ
, AP
и AQ
соответственно. Докажите, что прямые B_{1}P_{1}
и C_{1}Q_{1}
пересекаются на прямой BC
.
Указание. Из вписанности четырёхугольников ABB_{1}H
и APHP_{1}
докажите, что точки B_{1}
, H
и P_{1}
лежат на одной прямой, а также точки C_{1}
, H
и Q_{1}
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть AH
— высота треугольника ABC
. Точки A
, B
, B_{1}
и H
лежат на окружности с диаметром AB
, а точки A
, P
, P_{1}
и H
— на окружности с диаметром AP
. Значит,
\angle BHB_{1}=\angle BAB_{1}=\angle PAP_{1}=\angle QHP_{1}
(последнее равенство следует из вписанности четырёхугольника APHP_{1}
), поэтому прямые HB_{1}
и HP_{1}
совпадают. Тогда прямая B_{1}P
проходит через точку H
. Аналогично, прямая C_{1}Q_{1}
тоже проходит через точку H
. Следовательно, прямые B_{1}P_{1}
и C_{1}Q_{1}
пересекаются в точке H
, лежащей на прямой BC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Олимпиада Метрополий. — 2020, день 1, задача 2