18179. Правильный пятиугольник AXYZB
площади 5 вписан в окружность с центром O
. Точка Y'
симметрична вершине Y
относительно прямой AB
, а C
— центр описанной окружности треугольника AY'B
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 1.
Решение. Пусть правильный пятиугольник AX'Y'Z'B
симметричен пятиугольнику AXYZB
относительно прямой AB
. Тогда C
— центр пятиугольника AX'Y'Z'B
, поэтому точка C
симметрична O
относительно прямой AB
.
Треугольник ABC
равен треугольнику AOB
, площадь которого равна пятой части площади пятиугольника AXYZB
, т. е.
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABO}=\frac{1}{5}S_{AXYZB}=\frac{1}{5}\cdot5=1.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2013, задача 9, с. 3