18180. Дан выпуклый четырёхугольник AEBC
, в котором \angle BEA=\angle CAE=90^{\circ}
, AB=15
, BC=14
и CA=13
. Прямая, проходящая через вершину C
перпендикулярно диагонали AB
, пересекает прямые AB
и AE
в точках D
и F
соответственно. Найдите произведение AE\cdot AF
.
Ответ. 99.
Решение. Обозначим \angle ACD=\alpha
. Заметим, что AD
— высота прямоугольного треугольника ACF
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому \angle DAF=\angle ACD=\alpha
. Тогда прямоугольные треугольники CAF
и AEB
подобны. Значит,
\frac{AE}{AC}=\frac{BE}{AF}~\Rightarrow~AE\cdot AF=AC\cdot BE.
Из треугольника ABC
по теореме косинусов получаем
\sin\alpha=\cos(90^{\circ}-\alpha)=\sin\angle BAC=\frac{13^{2}+15^{2}-14^{2}}{2\cdot13\cdot15}=\frac{99}{13\cdot15}.
Из прямоугольного треугольника ABE
находим, что
BE=AB\sin\angle BAE=AB\sin\angle DAF=15\sin\alpha=15\cdot\frac{99}{13\cdot15}=\frac{99}{13}.
Следовательно,
AE\cdot AF=AC\cdot BE=13\cdot\frac{99}{13}=99.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2013, задача 10, с. 3