18184. Точки A
, B
и C
лежат на одной прямой, причём AB=AC=1
. Квадрат ABDE
и равносторонний треугольник ACF
расположены по одну сторону от прямой BC
. Найдите градусную меру угла между прямыми EC
и BF
.
Ответ. 75^{\circ}
.
Решение. Пусть прямые EC
и BF
пересекаются в точке K
. Заметим, что медиана FA
треугольника BFC
равна половине стороны BC
, поэтому \angle BFC=90^{\circ}
, причём CF=AC=\frac{1}{2}BC
. Значит,
\angle CBK=\angle CBF=30^{\circ}.
В то же время, из равнобедренного прямоугольного треугольника CAE
находим, что \angle ACE=45^{\circ}
. Следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle FKC=\angle CBK+\angle BCK=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2013, задача 11, с. 3