18185. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
пересекаются в различных точках A
и B
. Точки C
и D
лежат на \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
соответственно, причём прямая CD
— общая касательная окружностей, а точка A
расположена ближе к прямой CD
, чем точка B
. Известно, что \angle ACB=52^{\circ}
и \angle ADB=32^{\circ}
. Найдите градусную меру угла CBD
.
Ответ. 48^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\alpha
и \angle ABD=\beta
. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle ACD=\angle ABC=\alpha,~\angle ADC=\angle ABD=\beta.
Тогда
180^{\circ}-\angle CBD=180^{\circ}-(\alpha+\beta)=180^{\circ}-(180^{\circ}-\angle BCD-\angle BDC)=
=\angle BCD+\angle BDC=(52^{\circ}+\alpha)+(32^{\circ}+\beta)=84^{\circ}+(\alpha+\beta).
Из равенства
180^{\circ}-(\alpha+\beta)=84^{\circ}+(\alpha+\beta)
находим
\angle CBD=\alpha+\beta=48^{\circ}.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2013, задача 16, с. 4