18186. В треугольнике ABC
проведена биссектриса CF
. Точки D
и E
— проекции вершин A
и B
на прямую CF
, точка M
— середина стороны AB
. Известно, что ME=13
, AD=15
и BE=25
. Найдите сумму AC+CB
.
Ответ. 104.
Решение. Прямоугольные треугольники ADC
и BEF
подобны с коэффициентом \frac{AD}{BF}=\frac{3}{5}
. Пусть EF=5a
. Тогда
FF=3a~\mbox{и}~DE=8a.
Также
\frac{CD}{CE}=\frac{3}{5}~\Rightarrow~\frac{CD}{CE}=\frac{3}{5}~\Rightarrow~\frac{CE-DE}{CE}=\frac{3}{5}~\Rightarrow~\frac{CE-8a}{CE}=\frac{3}{5}~\Rightarrow
CE=20a~\Rightarrow~CD=CE-DE=20a-8a=12a.
По теореме Пифагора
AF=\sqrt{AD^{2}+DF^{2}}=\sqrt{225+9a^{2}}=3\sqrt{25+a^{2}},
BF=\sqrt{BE^{2}+EF^{2}}=\sqrt{625+25a^{2}}=5\sqrt{25+a^{2}},
AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{225+64a^{2}}.
Обозначим AM=BM=x
. По теореме Стюарта из треугольника AEB
получаем
AE^{2}\cdot BM+BE^{2}\cdot AM-EM^{2}\cdot AB=AB\cdot AM\cdot BM,~\mbox{или}
(225+64a^{2})x+625x-169\cdot2x=2x\cdot x\cdot x\Rightarrow~2x^{2}-64a^{2}-512=0,
откуда
x=4\sqrt{2a^{2}+16}~\Leftrightarrow~2x=8\sqrt{2a^{2}+16}.
Значит,
AB=AF+BF=AB=2x=8\sqrt{2a^{2}+16}.
Пусть T
— проекция вершины A
на прямую BE
. Тогда ATED
— прямоугольник, поэтому
AT=DE=8a~\mbox{и}~TE+BE=AD=15+25=40.
По теореме Пифагора
2x=AB=\sqrt{64a^{2}+1600}=4\sqrt{4a^{2}+100}.
Из уравнения
4\sqrt{4a^{2}+100}=8\sqrt{2a^{2}+16},
находим, что a=3
. Значит,
AC=\sqrt{CD^{2}+AD^{2}}=\sqrt{12^{2}a^{2}+15^{2}}=\sqrt{144\cdot9+225}=3\sqrt{144+25}=3\cdot13=39,
BC=\sqrt{CE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{CE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{20^{2}a^{2}+25^{2}}=\sqrt{400^{2}\cdot9+625}=
=5\sqrt{16\cdot9+25}=5\sqrt{169}=65.
Следовательно,
AC+CB=39+65=104.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2013, задача 26, с. 7