18187. Даны две окружности радиуса 1 с центрами O
и O'
. На одной из них отмечена произвольная точка M
. Какова наибольшая возможную площадь треугольника OMO'
, если OO'=2014
?
Ответ. 1007.
Решение. Поскольку основание OO'
фиксировано, то наибольшая площадь треугольника OMO'
достигается при наибольшей высоте. Пусть M_{0}
— точка на одной из окружностей (например, на окружности с центром O
), причём M_{0}O\perp OO'
. Тогда, если MH
— перпендикуляр, опущенный из точки M
на прямую OO'
, то M_{0}O=MO\geqslant MH
. Значит, высота треугольника OMO'
наибольшая, если точка M
совпадает с M_{0}
. Следовательно, эта наибольшая площадь равна
\frac{1}{2}OO'\cdot M_{0}O=\frac{1}{2}\cdot1\cdot2014.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2014, задача 2, с. 1