18188. Точка X
лежит внутри выпуклого четырёхугольника ABCD
, причём \angle AXB+\angle CXD=180^{\circ}
. Известно, что AX=14
, BX=11
, CX=5
, DX=10
и AB=CD
. Найдите сумму площадей треугольников AXB
и CXD
.
Ответ. 90.
Указание. Постройте вне данного четырёхугольника треугольник AX'B
, равный треугольнику CXD
, докажите что четырёхугольник AX'BX
вписанный, а треугольники XAX'
и XBX'
прямоугольные.
Решение. Отметим вне четырёхугольника ABCD
точку X'
, для которой треугольник AX'B
равен треугольнику CXD
. Тогда
\angle AXB+\angle AX'B=\angle AXB+\angle CXD=360^{\circ}-(\angle AXB+\angle CXD)=360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ}.
Значит, четырёхугольник AX'BX
вписанный, а его площадь равна искомой сумме площадей треугольников AXB
и CXD
.
Обозначим \angle XAX'=\alpha
. Тогда по теореме косинусов
XX'^{2}=AX'^{2}+AX^{2}-2AX'\cdot AX\cos\alpha=25+196-140\cos\alpha=221-140\cos\alpha,
XX'^{2}=BX'^{2}+BX^{2}-2BX'\cdot BX\cos(180^{\circ}-\alpha)=
=100+121+220\cos\alpha=221+220\cos\alpha.
Из равенства
221-140\cos\alpha=221+220\cos\alpha
находим, что \alpha=90^{\circ}
. Значит, \angle XAX'=\angle XBX'=90^{\circ}
, т. е. треугольники XAX'
и XBX'
прямоугольные. Следовательно,
S_{\triangle AXB}+S_{\triangle CXD}=S_{\triangle XAX'}+S_{\triangle XBX'}=\frac{1}{2}AX\cdot AX'+\frac{1}{2}BX\cdot BX'=
=\frac{1}{2}\cdot14\cdot5+\frac{1}{2}\cdot11\cdot10=35+55=90.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2014, задача 11, с. 4