18190. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
со сторонами AB=1400
, AC=1800
и BC=2014
. Окружность с центром I
, проходящая через точку A
, пересекает прямую BC
в двух точках X
и Y
. Найдите XY
.
Ответ. 1186.
Указание. Пусть B'
и C'
— симметричны точке A
относительно биссектрис CI
и BI
. Докажите, что окружность с центром I
, проходящая через точку A
, совпадает с описанной окружностью треугольника AB'C'
, и поэтому XY=B'C'
.
Решение. Отметим на прямой BC
точки B'
и C'
, для которых CA=CB'
и BA=BC'
. Эти точки симметричны точке A
относительно биссектрис CI
и BI
соответственно, поэтому AI=B'I=C'I
. Значит, описанная окружность треугольника AB'C'
совпадает с окружностью с центром I
и радиусом IA
, пересекающей прямую BC
в точках X
и Y
. Следовательно, точки X
и Y
совпадают с B'
и C'
(около любого треугольника можно описать единственную окружность).
Таким образом,
XY=B'C'=CB'-CC'=AC-(BC-AB)=AC+AB-BC=
=1800+1400-2014=1186.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2014, задача 12, с. 4