18195. Дана окружность \omega
с центром O
и диаметром AB
. Окружность \omega_{A}
проходит через точки A
и O
, а окружность \omega_{B}
— через точки B
и O
. Эти окружности пересекаются в точке C
, отличной от O
. Известно, все три окружности равны, а CO=\sqrt{3}
. Найдите периметр треугольника ABC
.
Ответ. 6.
Решение. Пусть O_{A}
и O_{B}
— центры окружностей \omega_{A}
и \omega_{B}
соответственно. Заметим, что O_{A}
и O_{B}
лежат по одну сторону от прямой AB
, так как иначе из условия следовало бы, что окружности \omega_{A}
и \omega_{B}
касались.
Треугольники OAO_{A}
, OBO_{B}
, CO_{A}O_{B}
и O_{A}CO_{B}
равные и равносторонние. Тогда точки A
, O_{A}
и C
лежат на одной прямой. Аналогично, точки B
, O_{B}
и C
лежат на одной прямой, и тогда треугольник ABC
тоже равносторонний, а его высота равна \sqrt{3}
.
Из равенства \frac{AB\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}
находим что AC=BC=AB=2
. Следовательно, периметр треугольника ABC
равен 3\cdot2=6
.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2015, задача 4, с. 1