18197. Дан прямоугольник ABCD
со сторонами AB=6
и BC=16
. На стороне AB
отмечены точки P
и Q
, причём AP=PQ=QB
. На стороне CD
отмечены точки R
и T
, причём CR=RT=TD
. Найдите площадь объединения параллелограммов APCR
и QBTD
.
Ответ. 56.
Решение. Пусть прямые AR
и BT
пересекаются в точке W
, прямые CP
и BT
— в точке X
, прямые CP
и QD
— в точке Y
, прямые DQ
и AR
— в точке Z
.
Пусть O
— центр параллелограмма ABCD
. Четырёхугольник WXYZ
— параллелограмм, в котором диагонали XZ
и YW
перпендикулярны, т. е. ромб. Тогда
XZ=AP=\frac{1}{3}AB=2=PQ,
Равнобедренные треугольники PQY
, XZY
, ZWX
и RWT
равны, поэтому равны их соответствующие высоты, проведённые из вершин Y
и W
. Значит,
YN=BC-4OY=16-8=8.
Следовательно, искомая площадь объединения параллелограммов APCR
и QBTD
Равна
S_{APCR}+S_{QBTD}-S_{WXYZ}=AP\cdot BC+BQ\cdot BC-\frac{1}{2}YN\cdot XZ=
=2\cdot16+2\cdot16-\frac{1}{2}\cdot8\cdot2=64-8=56.
Источник: Открытая онлайн-олимпиада (OMO). — 2017, задача 3, с. 1