1820. Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, высекает на двух других сторонах равные отрезки. Докажите, что треугольник равнобедренный.
Указание. Воспользуйтесь признаком равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе.
Решение. Пусть окружность построенная на стороне BC
треугольника ABC
как на диаметре пересекает стороны AB
и BC
соответственно в точках M
и N
, причём BM=CN
. Поскольку точки M
и N
лежат на окружности с диаметром BC
, то отрезок BC
виден из этих точек под прямым углом, т. е.
\angle BMC=\angle CNB=90^{\circ}.
Прямоугольные треугольники BMC
и CNB
равны по гипотенузе и катету, поэтому \angle CBM=\angle BCN
. Значит, углы при вершинах B
и C
треугольника ABC
равны. Следовательно, треугольник ABC
— равнобедренный.