18202. Докажите, что для любого треугольника ABC
существует единственная точка P
, для которой можно указать такие точки D
, E
и F
, что четырёхугольники APBF
, BPCD
CPAE
, EPFA
, FPDB
и DPEC
— параллелограммы.
Указание. Докажите, что точка пересечения медиан есть единственная точка, удовлетворяющая условию задачи.
Решение. Докажем, что точка пересечения медиан есть единственная точка, удовлетворяющая условию задачи.
Действительно, поскольку CP\parallel BD
и FP\parallel BD
, то точки C
, P
, F
лежат на одной прямой. Аналогично для точек A
, P
, D
и для точек A
, P
, D
, а так как APBF
— параллелограмм, то его диагональ FP
проходит через середину диагонали AB
. Значит, прямая CP
— содержит медиану треугольника ABC
. Аналогично для прямых AP
и BP
. Следовательно, P
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.
Обратно, если P
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, то в качестве точек D
, E
и F
возьмём точки, симметричные точке P
относительно середин сторон и сторон BC
, CA
и AB
соответственно. Тогда APBF
, BPCD
и CPAE
— параллелограммы. Аналогично, EPFA
, FPDB
и DPEC
— параллелограммы.
Следовательно, утверждение задачи доказано.
Источник: Математические олимпиады США. — 2013 задача 3, с. 81