18204. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом при вершине A
проведены биссектрисы BD
и CE
, пересекающиеся в точке I
. Возможно ли, что длины всех отрезков AB
, AC
, BI
, ID
, CI
, IE
— целые числа.
Решение. Поскольку I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, то (см. задачу 4770)
\angle BIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}.
Предположим, что длины всех отрезков AB
, AC
, BI
, ID
, CI
, IE
— целые числа. По теореме Пифагора
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2},
поэтому BC^{2}
— целое. В то же время, по теореме косинусов
BC^{2}=BI^{2}+CI^{2}-2BI\cdot CI\cos\angle BIC=BI^{2}+CI^{2}-2BI\cdot CI\cos135^{\circ}=
=BI^{2}+CI^{2}+2BI\cdot CI\cdot\sqrt{2},
поэтому BC^{2}
— иррациональное число. Противоречие.
Следовательно, длины всех отрезков AB
, AC
, BI
, ID
, CI
, IE
не могут быть целыми числами.
Примечание. Из приведённого решения следует, что даже длины отрезков AB
, AC
, CI
, BI
не могут быть целыми.
Источник: Математические олимпиады США. — 2010 задача 3, с. 81