18206. Равносторонние треугольники ABC
и CDE
расположены, как показано на рисунке (точка C
лежит на отрезке AE
). На отрезке CD
выбрана такая точка X
, причём XD=AB
. Докажите, AX=XE
.
Решение. Отметим на стороне DE
точку Y
, для которой DY=DX
. Поскольку угол XDE
равен 60^{\circ}
, равнобедренный треугольник XDY
— равносторонний.
Рассмотрим треугольники AXC
и XEY
. Получаем
AC=AB=XD=XY,~XC=DC-XD=DE-DY=EY,
\angle ACX=180^{\circ}-\angle DCE=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ},
\angle EYX=180^{\circ}-\angle DYX=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ},
поэтому треугольники AXC
и XEY
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AX=XE
.
Автор: Евдокимов М. А.
Автор: Казицина (Караваева) Т. В.
Автор: Чернышева Е. А.
Источник: Математический праздник (математическая вертикаль). — 2026, задача 5, 7 класс