18207. Квадрат ABCD
и равносторонний треугольник DEF
расположены так, как показано на рисунке (точка E
лежит на диагонали BD
, точка C
лежит на стороне EF
). Докажите, что BE=CF
.
Решение. В треугольниках BCE
и CDF
стороны BC
и CD
равны (как стороны квадрата), но всё же эти треугольники не равны: в одном из них против стороны квадрата лежит угол 120^{\circ}
, а во втором 60^{\circ}
.
Отметим на отрезке ED
точку G
, для которой FG=FC
. В треугольнике CFG
две стороны равны и есть угол 60^{\circ}
, поэтому он равносторонний (см. рис. 1).
Заметим, что \angle CEB=45^{\circ}
, а так как \angle GCE=\angle DEF=60^{\circ}
, то CG\parallel BD
, поэтому \angle DCG=\angle CDE=45^{\circ}
В то же время,
\angle BEC=180^{\circ}-60^{\circ}~\mbox{и}~\angle CGD=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}
Значит, равны и оставшиеся углы этих треугольников. Значит, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам). В частности, BE=GC=CF
. Что и требовалось доказать.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Математический праздник. — 2026, задача 4, 7 класс