18212. Дан треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
. Окружность с центром A
, проходящая через точку C
, пересекает гипотенузу AB
в точке E
, а окружность с центром B
, проходящая через точку C
, пересекает гипотенузу в точке D
. Найдите DE
, если AD=16
и BE=50
.
Ответ. 40.
Решение. Обозначим DE=x
. По неравенству треугольника AC+BC\gt AB
, поэтому точка D
лежит между A
и E
, а не наоборот.
Тогда
AC=AE=x+16,~BC=BD=x+50,~AB=AE+BE=(16+x)+50=x+66.
Из теоремы Пифагора получаем
(x+16)^{2}+(x+50)^{2}=(x+66)^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(x^{2}+32x+16^{2})+(x^{2}+100x+50^{2})=(x^{2}+132x+66^{2})~\Rightarrow
\Rightarrow~x^{2}=66^{2}-16^{2}-50^{2}=(66-16)(66+16)-50^{2}=50\cdot82-50^{2}=
=50(82-50)=100(41-25)=100\cdot16=(10\cdot4)^{2}=40^{2}~\Rightarrow~DE=x=40.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, школьный этап, 5.1, 9 класс