18214. В трапеции ABCD
(BC\parallel AD
) биссектриса угла при вершине A
перпендикулярна боковой стороне CD
. Найдите среднюю линию этой трапеции, если AD=4
, AB=3
.
Ответ. \frac{5}{2}
.
Решение. Продлим боковые стороны AB
и CD
трапеции до пересечения в точке X
. Заметим, что треугольник ADX
равнобедренный, так как в нём биссектриса совпадает с высотой, Значит, AD=AX
. Заметим также, что треугольник XBC
подобен треугольнику XAD
и поэтому тоже равнобедренный, так что
BC=XB=AX-AB=AD-AB.
Следовательно,
\frac{AD+BC}{2}=\frac{AD+(AD-AB)}{2}=\frac{2AD-AB}{2}=\frac{2\cdot4-3}{2}=\frac{5}{2}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, школьный этап, 3.1, 8 класс