18216. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине A
. На плоскости нашлась точка X
, для которой AX=BX
и AX=XC
. Какой может быть градусная мера угла BAX
, если \angle BXC=108^{\circ}
? Укажите все возможные варианты.
Ответ. 84^{\circ}
или 36^{\circ}
.
Решение. Заметим, что поскольку AX=XC
, то точка X
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC
, а так как AB=BX
, то X
лежит на окружности с центром B
и радиусом AB
. Таким образом, точка X
лежит на пересечении этих окружности и прямой, значит, есть два случая расположения точки X
.
1. Предположим, что точка X
лежит внутри треугольника ABC
(рис. 1). Обозначим \angle ACX=\alpha
. Тогда, поскольку треугольник AXC
равнобедренный, то \angle XAC=\alpha
. Значит,
\angle AXB=\angle BAX=90^{\circ}-\angle CAX=90^{\circ}-\alpha~\Rightarrow
\Rightarrow~\angle BXC=360^{\circ}-\angle AXC-\angle AXB=360^{\circ}-(180^{\circ}-2\alpha)-(90^{\circ}-\alpha)=3\alpha+90^{\circ}=108^{\circ},
откуда
\alpha=\frac{108^{\circ}-90^{\circ}}{3}=6^{\circ}~\Rightarrow~\angle BAX=90^{\circ}-\alpha=84^{\circ}.
2. Предположим, что точка X
находится вне треугольника ABC
(рис. 2). Обозначим \angle CAX=\alpha
. Тогда, поскольку треугольник AXC
равнобедренный, то \angle XAC=\alpha
. Значит,
\angle AXB=\angle BAX=90^{\circ}-\alpha~\Rightarrow
\Rightarrow~\angle BXC=\angle AXC+\angle AXB=(180^{\circ}-2\alpha)+(90^{\circ}-\alpha)=270^{\circ}-3\alpha=108^{\circ}~\Rightarrow
\Rightarrow~\alpha=\frac{270^{\circ}-108^{\circ}}{3}=54^{\circ}~\Rightarrow~\angle BAX=90^{\circ}-\alpha=36^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, школьный этап, 7.1, 8 класс