18226. Во вписанном четырёхугольнике ABCD
на стороне AD
отметили точку X
, для которой AX=CD
и \angle BXD=\angle CDA
. Найдите BX
, если известно, что AB=8
, BC=10
, CD=3
.
Ответ. \frac{27}{4}
.
Указание. Пусть прямые BC
и AD
пересекаются в точке E
. Тогда треугольники ABX
и CED
равны, а треугольники CDE
и ABE
подобны.
Решение. Пусть прямые BC
и AD
пересекаются в точке E
. Треугольники ABX
и CED
равны по стороне (AX=CD
) и двум прилежащим к ней углам (\angle AXB=\angle EDC
по условию, а также \angle BAX=\angle EDC
, так как четырёхугольник ABCD
вписанный). Тогда CE=AB=8
.
Треугольники CDE
и ABE
подобны по двум углам, поэтому
\frac{BX}{AX}=\frac{DE}{CD}=\frac{BE}{AB}.
Следовательно,
BX=AX\cdot\frac{BE}{AB}=AX\cdot\frac{BC+CE}{AB}=3\cdot\frac{10+8}{8}=\frac{27}{4}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, окружной этап, 10.5.1, 10 класс