18228. На диагонали AC
и стороне CD
квадрата ABCD
выбрали точки M
и N
соответственно, причём MN=MD
. Найдите CN
, если MN=10
, AB=14
.
Ответ. 2.
Указание. Докажите, что треугольник BMN
прямоугольный и равнобедренный.
Решение. Обозначим \angle ADM=\alpha
. Тогда
\angle AMD=180^{\circ}-45^{\circ}-\alpha=135^{\circ}-\alpha.
Из симметрии квадрата относительно прямой AC
следуют равенства
BM=DM~\mbox{и}~\angle AMB=\angle AND=135^{\circ}-\alpha.
Треугольник DMN
равнобедренный, причём его угол при основании равен
\angle MDN=90^{\circ}-\alpha,
значит,
\angle DMN=180^{\circ}-2(90^{\circ}-\alpha)=2\alpha.
Таким образом,
\angle BMN=360^{\circ}-\angle AMB-\angle AMD-\angle DMN=360^{\circ}-2(135^{\circ}-\alpha)-2\alpha=90^{\circ}.
Треугольники BMN
и BCN
прямоугольные, поэтому
BM^{2}+MN^{2}=BN^{2}=BC^{2}+CN^{2}.
Следовательно,
CN^{2}=10^{2}+10^{2}-14^{2}=200-196=4~\Rightarrow~CN=2.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, окружной этап, 9.4.1, 9 класс