18230. Два равных прямоугольника ABCX
и DEFX
расположены так, как показано на рисунке. Найдите расстояние от середины отрезка AF
до центра описанной окружности треугольника XCD
, если известно, что CD=5
.
Ответ. \frac{15}{2}
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника XCD
, а M
— середина отрезка AF
. Докажем, что точки O
, X
и M
лежат на одной прямой.
Достроим треугольник AXF
до параллелограмма AXFS
. Тогда M
— центр этого параллелограмма. Треугольники AXC
и XDC
равны по двум сторонам и углу между ними, так как
AX=XD,~AS=XF=CX,~\angle XAS=180^{\circ}-\angle AXF=
=180^{\circ}-(360^{\circ}-\angle DXF-\angle CXD-\angle CXA)=
=180^{\circ}-(360^{\circ}+90^{\circ}+30^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}=\angle CXD.
Обозначим \angle CDX+\angle SAX=\alpha
. Поскольку O
— центр описанной окружности треугольника XCD
, то
\angle COX=2\angle CDX=2\alpha,
а так как треугольник COX
равнобедренный, то
\angle OXC=90^{\circ}-\alpha.
В то же время,
\angle OXA=\angle OXC+\angle AXC=(90^{\circ}-\alpha)+90^{\circ}=180^{\circ}-\alpha,
Отсюда следует, что точки O
, X
и M
лежат на одной прямой.
Также заметим, что
MX=\frac{1}{2}XS=\frac{1}{2}CD,
а так как \angle CXD=30^{\circ}
, то \angle COD=60^{\circ}
. Значит равнобедренный треугольник COD
— равносторонний. Таким образом,
OX=CO=CD.
Следовательно,
OM=OX+MX=CD+\frac{1}{2}CD=\frac{3}{2}CD=\frac{3}{2}\cdot5=\frac{15}{2}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, окружной этап, 9.8.2, 9 класс