18234. Дан равнобедренный треугольник ABC
с основанием AC
. На его стороне AB
отметили точку X
, причём \angle ABC=4\angle ACX
. Точка M
— середина стороны AC
. Найдите BX
, если известно, что BC=53
и BM=40
.
Ответ. 27.
Решение. Обозначим \angle ACX=\alpha
. Тогда, поскольку треугольник ABC
равнобедренный, то
\angle ABM=\frac{1}{2}\angle ABC=2\alpha.
Пусть Y
— середина отрезка AX
. Тогда MY
— средняя линия треугольника ACX
, поэтому MY\parallel CX
, значит, \angle AMY=\angle ACX=\alpha
, а так как \angle AMB=90^{\circ}
, то
\angle BMY=\angle AMB-\angle AMY=90^{\circ}-\alpha.
Таким образом,
\angle BYM=180^{\circ}-\angle BMY-\angle YBM=180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)-2\alpha=90^{\circ}-\alpha=\angle BMY,
поэтому треугольник BYM
равнобедренный, BY=BM=40
. Значит,
AY=AB-BY=AB-BM=53-40=13.
Следовательно,
BX=BY-XY=BY-AY=40-13=27.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, окружной этап, 8.6.1, 8 класс