18237. Периметр выпуклого пятиугольника ABCDE
равен 2. Пусть O_{a}
, O_{b}
, O_{c}
, O_{d}
и O_{e}
— центры описанных окружностей треугольников EAB
, ABC
, BCD
, CDE
и DEA
соответственно. Пусть M_{a}
, M_{b}
, M_{c}
, M_{d}
и M_{e}
— середины отрезков AO_{a}
, BO_{b}
, CO_{c}
, DO_{d}
и EO_{e}
соответственно. Докажите, что M_{a}M_{b}+M_{b}M_{c}+M_{c}M_{d}+M_{d}M_{e}+M_{e}M_{a}\geqslant1
.
Указание. Отрезок не меньше его проекции на прямую. Получите из этого, что
M_{a}M_{b}\geqslant\frac{1}{2}AB.
Решение. Достаточно доказать, что M_{a}M_{b}\geqslant\frac{1}{2}AB
. Тогда, сложив это неравенство с четырьмя аналогичными неравенствами для сторон BC
, CD
, DE
и EA
, получим
M_{a}M_{b}+M_{b}M_{c}+M_{c}M_{d}+M_{d}M_{e}+M_{e}M_{a}\geqslant\frac{1}{2}(AB+BC+CD+DE+EA)=\frac{1}{2}\cdot2=1.
Заметим, что O_{a}
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
, поэтому проекция точки O_{a}
на прямую AB
совпадает с серединой N
отрезка AN
. Аналогично, проекция точки M_{b}
на прямую AB
совпадает с серединой N_{b}
отрезка BN
. Поскольку отрезок не меньше его проекции на прямую, получаем
M_{a}M_{b}\geqslant N_{a}N_{b}=\frac{1}{2}AB.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2025-26, региональный этап, первый день, задача 10.3, 10 класс