1824. Прямая касается двух окружностей в точках A
и B
. Линия центров пересекает первую окружность в точках E
и C
, а вторую — в точках D
и F
. Докажите, что прямые AC
и BD
либо параллельны, либо перпендикулярны.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры первой и второй окружностей соответственно. Предположим, что точки A
и B
расположены по одну сторону от линии центров, а точки E
, C
, D
и F
последовательно расположены на прямой O_{1}O_{2}
и точка C
между точками E
и D
. Прямые O_{1}A
и O_{2}B
перпендикулярны AB
, поэтому они параллельны, значит, \angle AO_{1}C=\angle BO_{2}F
. У равнобедренных треугольников AO_{1}C
и BO_{2}F
равны углы при вершинах, поэтому равны и углы при основаниях, т. е. \angle ACO_{1}=\angle BFO_{2}
. Следовательно, прямые AC
и BF
параллельны, а так как \angle DBF=90^{\circ}
, то прямые AC
и BD
перпендикулярны. Аналогично для остальных случаев.
