18243. На продолжении стороны BC
треугольника ABC
за точку C
, отмечена точка D
, для которой CD=BC
. На продолжении стороны CA
за точку A
, отмечена точка E
, для которой AE=2CA
. Оказалось, что AD=BE
. Докажите, что треугольник ABC
прямоугольный.
Указание. Достройте треугольник ABD
до параллелограмма ABFD
.
Решение. Достроим треугольник ABD
до параллелограмма ABFD
. Тогда точки E
, A
, C
и D
лежат на одной прямой, а BF=AD=BE
. Поскольку A
— середина EF
, то медиана AB
равнобедренного треугольника EBF
является его высотой, т. е.
\angle BAC=\angle BAF=90^{\circ}.
Следовательно, треугольник ABC
прямоугольный (с прямым углом при вершине A
). Что и требовалось доказать.
Источник: Европейская математическая олимпиада для девушек (EGMO). — 2013, задача 1