18244. Около треугольника ABC
описана окружность \Omega
. Окружность \omega
касается сторон AC
и BC
в точках E
и F
соответственно, а также внутренним образом касается окружности \Omega
в точке P
. Прямая, параллельная AB
и пересекающая треугольник ABC
, касается окружности \omega
в точке Q
. Докажите, что \angle ACP=\angle QCB
.
Решение. Пусть окружность \omega
касается сторон AC
и BC
в точках E
и F
соответственно, лучи PE
, PF
и PQ
пересекают окружность \Omega
в в точках K
, L
и M
соответственно, а I
и O
— центры окружностей \omega
и \Omega
соответственно.
Пусть при гомотетии с центром P
, переводящей окружность \omega
в окружность \Omega
, точки E
, Q
, F
и I
переходят в лежащие на окружности \Omega
точки K
, M
, L
и O
соответственно. Тогда OK\parallel IE
, а так как IE\perp AC
, то OK\perp AC
, поэтому K
— середина дуги AC
окружности \Omega
, не содержащей точки B
. Аналогично, точка M
— середина дуги CL
, а P
— середина дуги BL
, не содержащей точки A
.
Обозначим
\smile MC=\smile ML=\alpha~\mbox{и}~\smile AK=\smile KC=\beta.
Поскольку M
— общая середина дуг CL
и AB
, то CL\parallel AB
, поэтому ABCL
— равнобедренная трапеция, поэтому AC=BL
и \smile AKC=\smile BL
, т. е. 2\beta=2\alpha
, откуда \beta=\alpha
. Значит, CKLM
— тоже равнобедренная трапеция. Значит, ML=CK
.
Пусть луч PC
пересекает окружность \omega
в точке D
. Тогда
\angle FPQ=\angle LPM=\angle CPK=\angle DPE~\Rightarrow~ED=FQ,
а так как CE=CF
(см. задачу 1723) и
\angle DEC=\angle DPE=\angle CFQ=\angle LMP,
то треугольники CED
и CFQ
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle ACP=\angle ECD=\angle QCF=\angle QCB.
Что и требовалось доказать.
Источник: Европейская математическая олимпиада для девушек (EGMO). — 2013, задача 5