18246. Диагонали AC
и BD
вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке X
. Точки C_{1}
, D_{1}
и M
— середины отрезков CX
, DX
и CD
соответственно. Прямые AD_{1}
и BC_{1}
пересекаются в точке Y
, а прямая MY
пересекает диагонали AC
и BD
в различных точках E
и F
соответственно. Докажите, прямая XY
— касательная к окружности, проходящей через точки E
, F
и X
.
Указание. Докажите равенство \angle EXY=\angle EFX
.
Решение. Заметим, что достаточно доказать равенство \angle EXY=\angle EFX
, что равносильно равенству
\angle AYX+\angle XAY=\angle EBY+\angle XBY,
поскольку EXY
и EFX
— внешние углы треугольников AXY
и EBFY
соответственно.
Четырёхугольник ABCD
вписанный, поэтому треугольники XAD
и XBC
подобны по двум углам, а так как AD_{1}
и BC_{1}
— соответственные медианы этих треугольников, то
\angle XAY=\angle XAD_{1}=\angle XBC_{1}=\angle XBY.
Поскольку C_{1}D_{1}
— средняя линия треугольника DXC
, то \angle XD_{1}C_{1}=\angle XCD
, поэтому
\angle BAX=\angle BAC=\angle BDC=\angle MDX=\angle C_{1}D_{1}X.
Аналогично, \angle ABX=\angle D_{1}C_{1}X
. Значит, X
и M
— соответственные точки подобных треугольников ABY
и C_{1}D_{1}Y
, поэтому \angle AYX=\angle BYF
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Европейская математическая олимпиада для девушек (EGMO). — 2016, задача 2, с. 15