18248. Дан равнобедренный треугольник ABC
, в котором \angle ACB=120^{\circ}
, а M
— середина стороны AB
. На описанной окружности треугольника ABC
отмечена произвольная точка P
, а на отрезке CP
— точка Q
, для которой QP=2QC
. Прямая, проведённая через точку P
перпендикулярно AB
, и прямая MQ
пересекаются в единственной N
. Докажите, что существует фиксированная окружность, на которой лежит точка N
, для любого положения точки P
на описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Поскольку \angle ACB=120^{\circ}
, четырёхугольник AOBC
— ромб, поэтому точка M
— середина отрезка CO
.
Пусть \omega
— окружность с центром C
и радиусом CO
. В эту окружность переходит описанная окружность треугольника ABC
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{OC}
. Докажем, что точка N
лежит на \omega
.
Действительно, треугольник NQP
подобен треугольнику MQC
с коэффициентом \frac{PQ}{QC}=2
, поэтому NP=2MC=CO
, значит, COPN
— параллелограмм; тогда CN=OP
. Следовательно, точка N
лежит на \omega
для любого возможного положения точки P
на описанной окружности треугольника ABC
.
Примечание. Заметим, что из условия задачи следует, что точка P
не может лежать на меньшей дуге AB
описанной окружности треугольника ABC
.
Источник: Европейская математическая олимпиада для девушек (EGMO). — 2016, второй день, задача 1, с. 1