18250. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Окружность, проходящая через точку B
, касается прямой AI
в точке I
и вторично пересекает сторону AB
в точке P
. Окружность, проходящая через точку C
, касается прямой AI
в точке I
и вторично пересекает сторону AC
в точке Q
. Докажите, что PQ
— касательная к вписанной окружности треугольника ABC
.
Указание. Пусть X
и Y
— точки на лучах QP
и PQ
соответственно. Докажите, что точки Q
, P
, X
и Y
лежат на одной прямой, а точки X
и Y
совпадают.
Решение. Пусть X
и Y
— точки на лучах QP
и PQ
соответственно, причём эти точки лежат на вписанной окружности треугольника ABC
, а QX
и PY
— касательные к этой окружности. Тогда, если M
и N
— точки касания окружности со сторонами AB
и AC
соответственно, то
QX+PY=QN+PM=PQ.\eqno(1)
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
и \angle ACN=\gamma
. Поскольку AI
— касательная к описанной окружности треугольника CQI
, то по теореме об угле между касательной и хордой, а также по теореме о внешнем угле треугольника
\angle QIA=\angle QCI=\frac{\gamma}{2}~\mbox{и}~\angle IQC=\angle IAQ+\angle QIA=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}.
По построению точки X
получаем, что \angle IQC=\angle XQI
, поэтому
\angle AQX=180^{\circ}-\angle XQC=180^{\circ}-2\angle IQC=180^{\circ}-2\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}\right)=
=180^{\circ}-(\alpha+\gamma)=\beta.
Аналогично, \angle APY=\gamma
, поэтому, учитывая (1), получаем, что точки Q
, P
, X
и Y
лежат на одной прямой, а точки X
и Y
совпадают.
Следовательно, PQ
— касательная к вписанной окружности треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Европейская математическая олимпиада для девушек (EGMO). — 2016, второй день, задача 4, с. 20