18252. Точка D
лежит на описанной окружности остроугольного треугольника ABC
, причём AD
— диаметр окружности. Точки K
и L
лежат на отрезках AB
и AC
соответственно, причём DK
и DL
— касательные к описанной окружности треугольника AKL
. Докажите, что прямая KL
проходит через ортоцентр треугольника ABC
.
Указание. Докажите, что ортоцентр треугольника ABC
совпадает с серединой отрезка KL
.
Решение. Пусть M
— середина отрезка KL
. Докажем, M
— ортоцентр треугольника ABC
.
Поскольку DK=DL
, то медиана DM
равнобедренного треугольника KDL
является его высотой, поэтому \angle DMK=90^{\circ}
. В то же время, точка B
лежит на окружности с диаметром AD
, поэтому \angle ACB=\angle ABD=90^{\circ}
. Из точек M
и D
отрезок DK
виден под прямым углом, поэтому эти точки лежат на окружности с диаметром DK
. Аналогично, точки C
и M
лежат на окружности с диаметром DL
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой
\angle DKM=\angle DKL=\angle KAL=\angle BAC=\alpha,
поэтому
\angle LDM=\angle MDK=90^{\circ}-\angle DKM=90^{\circ}-\alpha.
Аналогично, \angle MBK=90^{\circ}-\alpha
. Значит, BM\perp AC
. Аналогично, CM\perp AB
. Следовательно, M
— ортоцентр треугольника ABC
. Отсюда получаем утверждение задачи.
Источник: Европейская математическая олимпиада для девушек (EGMO). — 2023, задача 2, с. 7