18253. Около треугольника ABC
, в котором AC\gt AB
, описана окружность \Omega
и вписана окружность с центром I
, касающаяся сторон BC
, CA
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно. Точки X
и Y
лежат на меньших дугах вписанной окружности треугольника ABC
соответственно, причём \angle BXD=\angle DYC
. Прямые XY
и BC
пересекаются в точке K
. Точка T
лежит на окружности \Omega
по одну с сторону с точкой A
от прямой BC
, причём прямая KT
— касательная к окружности \Omega
. Докажите, что прямые TD
и AI
пересекаются на окружности \Omega
.
Указание. Докажите, что точки T
, D
и M
лежат на одной прямой.
Решение. Применив теорему о сумме углов треугольника и теорему об угле между касательной и хордой, получим
180^{\circ}=\angle DCY+\angle CYD+\angle YDC=\angle DCY+\angle DXB+\angle YXD=\angle DCY+\angle YXB,
поэтому четырёхугольник CYXB
вписанный. Тогда, применив теорему о касательной и секущей, получим
KT^{2}=KB\cdot KC=KX\cdot KY=KD^{2}~\Rightarrow~KT=KD.
Пусть луч AI
(биссектриса угла BAC
) пересекает окружность \Omega
в точке M
— не содержащей точки A
середине дуги окружности \Omega
. Пусть касательная к окружности \Omega
в точке M
пересекает прямую KT
в точке Q
. Тогда QM\parallel KD
, поэтому \angle TKD=\angle TQM
, а также KT=KD
и QT=QM
. Значит, равнобедренные треугольники TKD
и TQM
подобны, а так как точки T
, K
и Q
лежат на одной прямой, то точки T
, D
и M
тоже лежат на одной прямой. Следовательно, прямые TD
и AI
пересекаются на окружности \Omega
. Что и требовалось доказать.
Источник: Европейская математическая олимпиада для девушек (EGMO). — 2023, задача 2, с. 7