18256. Дан четырёхугольник ABCD
с перпендикулярными диагоналями, пересекающимися в точке P
. Известно, что AP=PB
, а сторона BC
вдвое ,больше AB
и вдвое меньше стороны CD
. Найдите диагональ BD
, если AP=1
.
Ответ. 6 или 3.
Решение. Поскольку треугольник APB
равнобедренный и прямоугольный, то
AB=\sqrt{2}~\Rightarrow~BC=2AB=2\sqrt{2}~\mbox{и}~CD=2BC=4\sqrt{2}.
Тогда
CP=\sqrt{BC^{2}-BP^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=\sqrt{7},
DP=\sqrt{CD^{2}-CP^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{7})^{2}}=5.
Если четырёхугольник ABCD
выпуклый, то
BD=DP+BP=5+1=6.
Если четырёхугольник ABCD
невыпуклый, то
BD=DP-BP=5-1=4.
Источник: Чешско-австрийско-польско-словацкий турнир (CAPS). — 2018, задача WE2, с. 1