18259. На сторонах CD
и AB
квадрата ABCD
со стороной 12 отмечены точки P
и Q
соответственно, причём DP=2
и BQ=4
. Прямая l
, перпендикулярная AD
, пересекает стороны AD
и BC
в точках T
и S
соответственно, а перпендикуляр PK
, опущенный из точки P
на AB
, и отрезок PQ
— в точках H
и O
соответственно. Известно, что площадь треугольника POS
вдвое больше площади треугольника QOT
. Найдите расстояние между точками S
и C
.
Ответ. 8.
Решение. Обозначим CS=PH=x
. Из подобия прямоугольных треугольников PHO
и PKQ
получаем
\frac{PK}{PH}=\frac{KQ}{HO},~\mbox{или}~\frac{12}{x}=\frac{6}{HO}~\Rightarrow~HO=\frac{x}{2}.
Значит,
OS=TS-TH-HO=12-2-\frac{x}{2}=10-\frac{x}{2}
а высоты треугольников POS
и QOT
, опущенные на основания OS
и TO
соответственно, равны x
и 12-x
. Тогда по условию задачи
S_{\triangle POS}=2S_{\triangle QOT},~\mbox{или}~\frac{1}{2}OS\cdot PH=2\cdot\frac{1}{2}TO\cdot BS~\Rightarrow
\Rightarrow~\left(10-\frac{x}{2}\right)\cdot x=2\left(2+\frac{x}{2}\right)\cdot(12-x).
После очевидных упрощений приходим к квадратному уравнению x^{2}+4x-96=0
. Условию задачи удовлетворяет только положительный корень x=8
этого уравнения.
Источник: Чешско-австрийско-польско-словацкий турнир (CAPS). — 2018, задача RE3A, с. 3