18260. Дан треугольник ABC
с углом 102^{\circ}
при вершине C
. Точки P
и Q
лежат на стороне AB
, точки R
и S
— на стороне AC
, причём AP\lt AQ
и AR\lt AS
, эти четыре точки отличны от вершин треугольника ABC
и AR=RP=PS=SQ=QS=CB
. Какова градусная мера угла ABC
?
Ответ. 65^{\circ}
.
Указание. Примените теорему о внешнем угле треугольника.
Решение. Обозначим \angle PAR=\alpha
. Треугольник ARP
равнобедренный, а PRS
— его внешний угол, поэтому \angle PRS=2\alpha
. Аналогично, треугольники RPS
, PSQ
, SQC
и QCB
равнобедренные, поэтому
\angle SPQ=\alpha+2\alpha=3\alpha,~\angle QSC=\alpha+4\alpha=4\alpha,~\angle ABC=\angle BQC=\alpha+4\alpha=5\alpha,
а так как сумма углов треугольника BCQ
равна 180^{\circ}
, то
102^{\circ}=\angle ACB=\angle BCQ+\angle ACQ=(180^{\circ}-10\alpha)+4\alpha=180^{\circ}-6\alpha.
Значит,
6\alpha=78^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=13^{\circ}.
Следовательно,
\angle ABC=5\alpha=65^{\circ}.
Источник: Чешско-австрийско-польско-словацкий турнир (CAPS). — 2018, задача GE3B, с. 3