18261. На рисунке изображена фигура, состоящая из квадрата со стороной 8 и двух равных прямоугольных треугольников, построенных вне квадрата на его противоположных сторонах как на гипотенузах. Известно, что отрезок PQ
, соединяющий вершины прямых углов этих треугольников, равен 14. Найдите площадь фигуры.
Ответ. 81.
Решение. Продолжив катеты прямоугольных треугольников до пересечения, получим квадрат с диагональю 14 (два новых прямоугольных треугольника равны данным по гипотенузе и острому углу). Сторона этого квадрата равна \frac{14}{\sqrt{2}}=7\sqrt{2}
, а площадь — 98. Тогда сумма площадей четырёх прямоугольных треугольников равна 98-64=34
, а площадь каждого — \frac{34}{4}=\frac{17}{2}
. Следовательно, площадь данной фигуры равна
8^{2}-2\cdot\frac{17}{2}=64+17=81.
Источник: Чешско-австрийско-польско-словацкий турнир (CAPS). — 2018, задача WE5, с. 3