18262. Точка F
, лежащая внутри квадрата ABCD
, равноудалена от стороны AB
и вершин C
и D
. Найдите отношение площадей треугольника CFD
и квадрата ABCD
.
Ответ. \frac{3}{6}
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку F
перпендикулярно AB
, пересекает стороны AB
и CD
в точках E
и G
соответственно. Поскольку треугольник CFD
равнобедренный, прямая EG
— серединный перпендикуляр к CD
и AB
.
Обозначим AB=y
и FC=FD=FE=y
. Тогда
FG=EG-EF=y-x,~S_{\triangle CFD}=\frac{1}{2}CD\cdot FG=\frac{1}{2}y(y-x)=\frac{1}{2}(y^{2}-xy),
а так как S_{ABCD}=y^{2}
, то
\frac{S_{\triangle CFD}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{y^{2}-xy}{y^{2}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{y}\right).
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника CFG
получаем
CF^{2}=CG^{2}+FG^{2},~\mbox{или}~x^{2}=\frac{y^{2}}{4}+(y-x)^{2}.
После очевидных упрощений получим уравнение 5y^{2}=8xy
, а так как y\ne0
, то \frac{x}{y}=\frac{5}{8}
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle CFD}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{5}{8}\right)=\frac{3}{16}.
Источник: Чешско-австрийско-польско-словацкий турнир (CAPS). — 2018, задача WE7, с. 5