18263. Дан треугольник ABC
с тупым углом при вершине C
и AB\gt AC
. Проведена его биссектриса AM
, а биссектриса внешнего угла при вершине A
пересекает прямую BC
в точке N
. Касательная к описанной окружности треугольника ABC
в точке A
пересекает прямую BC
в точке K
. Известно, что MK=1
. Найдите NK
.
Ответ. 1.
Указание. Условие \angle ACB\gt90^{\circ}
, использованное в решении, не является необходимым.
Решение. По теоремам об угле между касательной и хордой, а также о внешнем угле треугольника получаем
\angle KAM=\angle KAC+\angle MAC=\angle ABC=\angle KMA,
поэтому треугольник AMK
равнобедренный, AK=KM
.
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому \angle CAN=90^{\circ}
. Значит,
\angle NAK=90^{\circ}-\angle KAM=90^{\circ}-\angle KMA=\angle ANK.
Тогда треугольник AKN
тоже равнобедренный, MK=KN
, поэтому MK=KN=1
.
Источник: Чешско-австрийско-польско-словацкий турнир (CAPS). — 2018, задача RE3B, с. 1