18265. Даны три равных отрезка AB=BC=CD
, причём точки A
, C
и D
лежат на одной прямой (точка C
между A
и D
), а угол BCD
в три раза больше угла ABC
. Верно ли,что треугольник ABD
равнобедренный, но не равносторонний.
Ответ. Верно.
Решение. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Поскольку треугольник ABC
равнобедренный, а BCD
— его внешний угол, то
\angle BAC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
3\alpha=\angle BCD=\angle ABC+\angle BAC=\alpha+\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right),
откуда
\frac{5}{2}\alpha=180^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=36^{\circ}~\Rightarrow~\angle BCD=3\alpha=72^{\circ}~\Rightarrow
\Rightarrow~\angle BAC=\angle ACB=180^{\circ}-\angle ACD=180^{\circ}-3\alpha=180^{\circ}-3\cdot36^{\circ}=72^{\circ}.
Значит, \angle NCD=108^{\circ}\ne60^{\circ}
. Следовательно, равнобедренный треугольник ABD
не является равносторонним.
Источник: Средиземноморская математическая олимпиада (MMC). — 2016, задача RE3B, с. 1