18267. Три окружности радиуса 4 проходят через точку B
, причём никакие две из них не касаются друг друга. Точки A
, C
и D
— центры окружностей, а F
, H
и J
— точки их попарного пересечения, отличные от B
(см. рис). Известно, что шестиугольник CHDJAF
выпуклый, а площадь треугольника HJF
равна 18. Найдите площадь шестиугольника CHDJAF
.
Ответ. 36.
Решение. Площадь шестиугольника CHDJAF
равна сумме площадей ромбов HDBC
, DJAB
и BAFC
, а значит, равна удвоенной площади треугольника ACD
с вершинами в центрах данных окружностей.
Поскольку DH\parallel BC\parallel AF
и DH=BC=AF
, то четырёхугольник AFHD
— параллелограмм, поэтому отрезки AD
и FH
равны и параллельны. Аналогично для отрезков AC
и HJ
, а также для отрезков CD
и FJ
. Треугольник ACD
равен треугольнику HJF
(по трём сторонам), площадь которого равна 18. Следовательно, площадь шестиугольника CHDJAF
(как и треугольника ACD
) вдвое больше площади треугольника HJF
, т. е. равна 36.
Источник: Средиземноморская математическая олимпиада (MMC). — 2017, задача GE3C, с. 4