18268. На рисунке изображён вписанный пятиугольник ABCD
и указаны градусные меры углов пятиугольника с вершинами в точках попарного пересечения диагоналей пятиугольника ABCD
. Найдите углы пятиугольника ABCD
.
Ответ. 90^{\circ}
, 100^{\circ}
, 120^{\circ}
, 130^{\circ}
, 100^{\circ}
.
Решение. Пусть диагонали AC
и AD
пересекают диагональ BE
в точках K
и L
соответственно. Тогда
\angle AKL=180^{\circ}-\angle CKL=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Аналогично находим, что \angle ALK=70^{\circ}
и \angle BEC=40^{\circ}
. Значит,
\angle CAD=\angle KAL=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}
и аналогично, \angle DBE=30^{\circ}
и \angle BEC=40^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAE=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAE=40^{\circ}+20^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}.
Аналогично находим,
\angle ABC=100^{\circ},~\angle BCD=120^{\circ},~\angle BCD=130^{\circ},~\angle DEA=100^{\circ}.
Источник: Средиземноморская математическая олимпиада (MMC). — 2017, задача RE2B, с. 1