18271. Около треугольника ABC
описана окружность с центром O
. Прямая AO
пересекает сторону BC
в точке T
, а перпендикуляры, опущенные из точки T
на AB
и AC
, пересекают радиусы OB
и OC
в точках E
и F
, соответственно. Докажите, что BE=CF
.
Решение. Пусть AD
— диаметр окружности. Тогда BD\perp AB
, а так как ET\perp AB
, то ET\parallel BD
. Треугольник BOD
равнобедренный (OB=OD
как радиусы окружности), поэтому треугольник EOT
тоже равнобедренный, OE=OT
. Значит,
BE=OB-OE=OD-OT=DT.
Аналогично докажем, что CE=DT
. Следовательно, BE=CF
. Что и требовалось доказать.
Автор: Карлюченко А. В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2023, задача 1, 8 класс, с. 1