18275. Через вершину A
треугольника ABC
проведена прямая l
, параллельная BC
. Две окружности, равные вписанной окружности треугольника ABC
, касаются прямых AB
и AC
, в точках E
и G
соответственно, а также прямой l
— в точках D
и F
соответственно. Прямые DE
и FG
пересекаются в точке P
, лежащей на стороне BC
. Докажите, что P
— середина BC
.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, точки K
и L
— точки касания вписанной окружности со сторонами AB
и AC
соответственно, а O_{1}
и O_{2}
центры двух окружностей из условия задачи, проходящих через точки E
и G
соответственно. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Для других случаев решение аналогично изложенному ниже.
Поскольку AD=AE
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, то \angle ADE=\angle AED
, а так как \angle ADE=\angle BPE
и \angle AED=\angle BEP
как вертикальные углы, то \angle BEP=\angle BPE
. Значит, треугольник BPE
равнобедренный, BP=BE
. Аналогично, CP=CG
. Таким образом, осталось доказать, что BE=CG
.
Прямоугольные треугольники O_{1}AE
и IBK
равны по катету (O_{1}E=IK
) и противолежащему острому углу, так как
\angle O_{1}AE=\angle IBK=\frac{1}{2}\angle DAB=\frac{1}{2}\angle ABP=\angle IBK,
поскольку AD\parallel BC
.
Итак, AE=BK
, поэтому
BE=AB-AE=AB-BK=AK.
Аналогично, CG=AL
, а так как AK=AL
то
BP=BE=AK=AL=CG=CP,
т. е. P
— середина стороны BC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Плотников М. В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2023, VII, задача 5, 8 класс, с. 3