1828. Постройте треугольник с наименьшим возможным периметром по данным стороне и проведённой к ней высоте.
Указание. Пусть C
— вершина искомого треугольника ABC
с данной стороной AB
. Рассмотрите точку B_{1}
, симметричную вершине B
относительно прямой, проходящей через вершину C
параллельно прямой AB
.
Решение. Пусть ABC
— произвольный треугольник, у которого AB=a
— данная сторона, CH=h
— данная высота. Точка C
лежит на прямой l
, параллельной AB
и расположенной на расстоянии h
от прямой AB
. Рассмотрим точку B_{1}
, симметричную вершине B
относительно прямой l
. Пусть отрезок AB_{1}
пересекает прямую l
в точке M
. Тогда
AC+BC=AC+B_{1}C\geqslant AB_{1}=AM+MB_{1}=AM+MB,
причём равенство достигается, когда точки A
, C
и B_{1}
лежат на одной прямой, т. е. когда точка C
совпадает с точкой M
. В этом случае треугольник ABC
— равнобедренный, AC=BC
.