18283. Окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
касаются некоторой прямой в различных точках A
и B
соответственно, а также касаются друг друга внешним образом точке D
. Точка E
выбрана произвольным образом на меньшей дуге окружности \omega_{2}
. Прямая DE
вторично пересекает окружность \omega_{1}
в точке C
, отличной от D
. Докажите, что BE\perp AC
.
Решение. Первый способ. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно, а F
— точка пересечения прямых AC
и BE
. Докажем, что точки A
, B
, D
и F
лежат на одной окружности.
Действительно, из равнобедренных треугольников O_{1}CD
и O_{2}DE
получаем, что \angle O_{1}DC=\angle O_{2}DE
, поэтому \angle CO_{1}D=\angle DO_{2}E
. Значит,
\angle CAD=\frac{1}{2}\angle CO_{1}D=\frac{1}{2}\angle DO_{2}E=\angle DBE.
Тогда \angle FAD=\angle FBD
. Следовательно, четырёхугольник ABDF
вписанный.
Поскольку AO_{1}\parallel BO_{2}
, то \angle AO_{1}D+\angle BO_{2}D=180^{\circ}
. Из равнобедренных треугольников AO_{1}D
и BO_{2}D
, находим
\angle O_{1}DA+\angle O_{2}DB=\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AO_{1}D\right)+\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BO_{2}D\right)=90^{\circ}.
Значит, \angle ADB=90^{\circ}
. Следовательно, \angle AFB=\angle ADB=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть при гомотетии с центром D
, переводящей окружность \omega_{2}
в окружность \omega_{1}
, радиус O_{2}B
окружности \omega_{2}
переходит в параллельный ему радиус O_{1}G
окружности \omega_{1}
. При этом треугольник BED
переходит в треугольник GCD
, а GC\parallel BE
. Поскольку O_{2}B\parallel O_{1}A
и O_{2}B\parallel O_{1}G
, то AG
— диаметр окружности \omega_{1}
. Значит, AC\perp BE
. Следовательно, AC\perp BF
. Что и требовалось доказать.
Автор: Билецкий Ю. А.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2023, VII, задача 1, 10-11 класс, с. 9