18284. Угол при вершине A
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
, точка I
— центр вписанной окружности, а D
— точка касания этой окружности со стороной BC
. На отрезках BI
и CI
отмечены точки X
и Y
соответственно, причём DX\perp AB
и DY\perp AC
. Точка Z
лежит с точкой I
по одну сторону от прямой XY
, причём треугольник XYZ
равносторонний. Докажите, что AZ\perp BC
.
Решение. Пусть вписанная окружности треугольника ABC
касается сторон AC
и AB
в точках E
и F
соответственно. Поскольку CI\perp ED
, точка Y
— ортоцентр треугольника DEC
. Значит, EY\perp BC
и ID\perp BC
, поэтому EY\parallel ID
. Аналогично, EI\parallel YD
. Тогда EIDY
— параллелограмм, поэтому \overrightarrow{EY}=\overrightarrow{ID}
. Аналогично, \overrightarrow{EY}=\overrightarrow{ID}
.
Равнобедренный треугольник EAF
(AT=AF
) с углом 60^{\circ}
— равносторонний, поэтому при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{EY}=\overrightarrow{FX}
равносторонний треугольник EAF
переходит в равносторонний треугольник ZYX
, так как точка E
переходит в Y
, точка F
— в X
, а сторона EF
— в параллельную ей сторону YX
. Значит, вершина A
треугольника EAF
переходит в вершину Z
треугольника YZX
, а так как AZ\parallel EY
и EY\perp BC
, то AZ\perp BC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Курский М.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2023, VII, задача 2, 10-11 класс, с. 9