18285. Дан остроугольный треугольник ABC
. Квадраты AA_{1}A_{2}A_{3}
, BB_{1}B_{2}B_{3}
и CC_{1}C_{2}C_{3}
расположены так, что прямые A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
проходят через точки B
, C
и A
соответственно, а прямые A_{2}A_{3}
, B_{2}B_{3}
и C_{2}C_{3}
проходят через точки C
, A
и B
соответственно. Докажите, что
а) прямые AA_{2}
, B_{1}B_{3}
и C_{1}C_{3}
пересекаются в одной точке;
б) прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
пересекаются в одной точке.
Решение. а) Прямые B_{1}B_{3}
, AA_{2}
и C_{1}C_{3}
содержат биссектрисы прямых углов \angle BB_{1}C
, \angle BA_{2}C
и \angle BC_{3}C
, значит эти три прямые проходят через точку A'
— середину полуокружности, построенной вне треугольника ABC
на стороне BC
как на диаметре.
б) Пусть A'
, B'
и C'
— середины дуг полуокружностей построенных вне треугольника ABC
на сторонах соответственно BC
, AC
и AB
как на диаметрах. Из пункта а) следует, что прямая A_{1}A_{3}
проходит через точки B
и C
, а прямая AA_{2}
проходит через точку A'
.
Поскольку A_{1}A_{3}\perp AA_{2}
(как диагонали квадрата), то прямая AA_{2}
содержит высоту треугольника A'B'C'
. Аналогично, прямые BB_{2}
и CC_{2}
тоже содержат высоты этого треугольника. Следовательно, прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
проходят через ортоцентр треугольника A'B'C'
.
Автор: Плотников М. В.
Источник: Геометрическая олимпиада им. В. А. Ясинского. — 2023, VII, задача 3, 10-11 классы, с. 10